UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH
BIDANG : MATEMATIKA
HARI PERTAMA
WAKTU : 180 MENIT
1. Suatu turnamen catur diikuti oleh delapan pecatur. Masing-masing pemain bertemu tepat sekali dengan lawan-lawannya. Jika menang mendapat nilai 1, imbang ½ dan kalah mendapat nilai 0. Pada akhir turnamen setiap peserta mendapat total nilai yang berbeda. Nilai peringkat kedua sama dengan total nilai yang diperoleh keempat pecatur dengan peringkat terendah. Apakah hasil pertandingan antara peringkat ketiga dengan peringkat keenam ?
2. Misalkan a, b, c dan p adalah bilangan real dengan a, b dan c semuanya berbeda dan memenuhi
Tentukan semua kemungkinan nilai p dan buktikan bahwa abc + p = 0
3. ABCD adalah segiempat konveks. Titik P, Q, R dan S secara berurutan terletak pada sisi AB, BC, CD dan DA sehingga memenuhi . Tentukan nilai k jika luas PQRS 52 % luas segiempat ABCD.
4. Diberikan barisan aritmatika dengan suku-sukunya bilangan bulat
308, 973, 1638, 2303, 2968, 3633, 4298.
Tentukan barisan geometri dengan suku-sukunya
b1, b2, b3, b4, b5, b6
merupakan bilangan bulat yang memenuhi
308 < b1 < 973 < b2 < 1638 < b3 < 2303 < b4 < 2968 < b5 < 3633 < b6 < 4298.
UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH
BIDANG : MATEMATIKA
HARI KEDUA
WAKTU : 180 MENIT
5. Bilangan real a, b, c memenuhi
ab a = b + 119
bc b = c + 59
ca c = a + 71
Tentukan semua kemungkinan nilai a + b + c.
6. Tentukan bilangan rasional r terbesar yang memenuhi dan dengan a, b, dan c adalah bilangan asli.
7. Misalkan ABCD adalah segiempat talibusur dan P dan Q berturut-turut adalah titik yang terletak pada sisi AB dan AD sehingga AP = CD dan AQ = BC. Misalkan M adalah titik perpotongan AC dan PQ. Buktikan bahwa M adalah titik tengah PQ.
8. Masing-masing petak papan catur ukuran 8 x 8 diberi nomor dari 1 sampai 64. Penomoran dimulai dari baris paling atas dan dimulai dari kiri ke kanan. Jika satu bilangan di antara 64 bilangan tersebut dihapus maka 21 buah persegi panjang dengan ukuran 3 x 1 tepat dapat menutup 63 petak sisanya. Tentukan semua kemungkinan bilangan yang dihapus tersebut.
Minggu, 19 Oktober 2008
Uji Coba OSN
UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH
BIDANG : MATEMATIKA
HARI PERTAMA
WAKTU : 180 MENIT
1. Buktikan bahwa tidak dapat dibentuk lebih dari 30 sub komite masing-masing beranggotakan 5 orang yang berasal dari komite beranggotakan 25 orang dan memenuhi tidak ada dua sub komite yang memiliki lebih dari satu anggota bersama.
2. Misalkan f(x) = x x x x untuk suatu bilangan real x dengan y didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan y.
a. Tentukan nilai x yang memenuhi f(x) = 2001
b. Buktikan bahwa tidak ada nilai x yang memenuhi f(x) = 2006
3. Untuk sembarang nilai n asli didefinisikan S(n) adalah penjumlahan digit-digit n.
a. Tunjukkan n + S(n) = 1.000.000 tidak mempunyai penyelesaian.
b. Selesaikan n + S(n) = 1.000.000.000.
4. Pada segiempat konveks ABCD, AB = BC. Titik E terletak di dalam segiempat ABCD yang memenuhi BCDE adalah jajaran genjang. Misalkan P, Q, R dan S adalah titik tengah ruas garis BD, DA, AE dan EB. Buktikan bahwa PQRS adalah belah ketupat.
UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH
BIDANG : MATEMATIKA
HARI KEDUA
WAKTU : 180 MENIT
5. a, b dan c adalah bilangan asli dan merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku. Buktikan bahwa abc habis dibagi 60.
6. Tentukan semua tripel bilangan real positif (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan
7. Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga ABC dan I adalah pusat lingkaran dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa :
8. Suatu kompetisi matematika menguji peserta dengan 8 buah soal. Seorang juri sedang meneliti 8 siswa yang memperoleh nilai tertinggi dan didapat fakta bahwa setiap soal yang diujikan berhasil diselesaikan oleh 5 dari 8 siswa tersebut. Buktikan bahwa terdapat dua siswa dari 8 siswa tersebut yang keduanya mampu menyelesaikan kedelapan soal yang diujikan.
(Ket. : Jika A menyelesaikan soal 1 – 4 sedangkan B menyelesaikan soal 5 – 8, maka keduanya mampu menyelesaikan kedelapan soal. Kata “keduanya” sangat berbeda arti dengan kata “masing
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH
BIDANG : MATEMATIKA
HARI PERTAMA
WAKTU : 180 MENIT
1. Buktikan bahwa tidak dapat dibentuk lebih dari 30 sub komite masing-masing beranggotakan 5 orang yang berasal dari komite beranggotakan 25 orang dan memenuhi tidak ada dua sub komite yang memiliki lebih dari satu anggota bersama.
2. Misalkan f(x) = x x x x untuk suatu bilangan real x dengan y didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan y.
a. Tentukan nilai x yang memenuhi f(x) = 2001
b. Buktikan bahwa tidak ada nilai x yang memenuhi f(x) = 2006
3. Untuk sembarang nilai n asli didefinisikan S(n) adalah penjumlahan digit-digit n.
a. Tunjukkan n + S(n) = 1.000.000 tidak mempunyai penyelesaian.
b. Selesaikan n + S(n) = 1.000.000.000.
4. Pada segiempat konveks ABCD, AB = BC. Titik E terletak di dalam segiempat ABCD yang memenuhi BCDE adalah jajaran genjang. Misalkan P, Q, R dan S adalah titik tengah ruas garis BD, DA, AE dan EB. Buktikan bahwa PQRS adalah belah ketupat.
UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH
BIDANG : MATEMATIKA
HARI KEDUA
WAKTU : 180 MENIT
5. a, b dan c adalah bilangan asli dan merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku. Buktikan bahwa abc habis dibagi 60.
6. Tentukan semua tripel bilangan real positif (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan
7. Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga ABC dan I adalah pusat lingkaran dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa :
8. Suatu kompetisi matematika menguji peserta dengan 8 buah soal. Seorang juri sedang meneliti 8 siswa yang memperoleh nilai tertinggi dan didapat fakta bahwa setiap soal yang diujikan berhasil diselesaikan oleh 5 dari 8 siswa tersebut. Buktikan bahwa terdapat dua siswa dari 8 siswa tersebut yang keduanya mampu menyelesaikan kedelapan soal yang diujikan.
(Ket. : Jika A menyelesaikan soal 1 – 4 sedangkan B menyelesaikan soal 5 – 8, maka keduanya mampu menyelesaikan kedelapan soal. Kata “keduanya” sangat berbeda arti dengan kata “masing
Langganan:
Postingan (Atom)
