Uji Coba OSN

UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH

BIDANG : MATEMATIKA

HARI PERTAMA

WAKTU : 180 MENIT



1. Buktikan bahwa tidak dapat dibentuk lebih dari 30 sub komite masing-masing beranggotakan 5 orang yang berasal dari komite beranggotakan 25 orang dan memenuhi tidak ada dua sub komite yang memiliki lebih dari satu anggota bersama.


2. Misalkan f(x) = x  x  x  x untuk suatu bilangan real x dengan y didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan y.
a. Tentukan nilai x yang memenuhi f(x) = 2001
b. Buktikan bahwa tidak ada nilai x yang memenuhi f(x) = 2006


3. Untuk sembarang nilai n asli didefinisikan S(n) adalah penjumlahan digit-digit n.
a. Tunjukkan n + S(n) = 1.000.000 tidak mempunyai penyelesaian.
b. Selesaikan n + S(n) = 1.000.000.000.


4. Pada segiempat konveks ABCD, AB = BC. Titik E terletak di dalam segiempat ABCD yang memenuhi BCDE adalah jajaran genjang. Misalkan P, Q, R dan S adalah titik tengah ruas garis BD, DA, AE dan EB. Buktikan bahwa PQRS adalah belah ketupat.












UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH

BIDANG : MATEMATIKA

HARI KEDUA

WAKTU : 180 MENIT



5. a, b dan c adalah bilangan asli dan merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku. Buktikan bahwa abc habis dibagi 60.


6. Tentukan semua tripel bilangan real positif (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan





7. Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga ABC dan I adalah pusat lingkaran dalam segitiga ABC. Buktikan bahwa :



8. Suatu kompetisi matematika menguji peserta dengan 8 buah soal. Seorang juri sedang meneliti 8 siswa yang memperoleh nilai tertinggi dan didapat fakta bahwa setiap soal yang diujikan berhasil diselesaikan oleh 5 dari 8 siswa tersebut. Buktikan bahwa terdapat dua siswa dari 8 siswa tersebut yang keduanya mampu menyelesaikan kedelapan soal yang diujikan.
(Ket. : Jika A menyelesaikan soal 1 – 4 sedangkan B menyelesaikan soal 5 – 8, maka keduanya mampu menyelesaikan kedelapan soal. Kata “keduanya” sangat berbeda arti dengan kata “masing