Uji Coba ke-1 OSN 2006

UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH

BIDANG : MATEMATIKA

HARI PERTAMA

WAKTU : 180 MENIT



1. Suatu turnamen catur diikuti oleh delapan pecatur. Masing-masing pemain bertemu tepat sekali dengan lawan-lawannya. Jika menang mendapat nilai 1, imbang ½ dan kalah mendapat nilai 0. Pada akhir turnamen setiap peserta mendapat total nilai yang berbeda. Nilai peringkat kedua sama dengan total nilai yang diperoleh keempat pecatur dengan peringkat terendah. Apakah hasil pertandingan antara peringkat ketiga dengan peringkat keenam ?


2. Misalkan a, b, c dan p adalah bilangan real dengan a, b dan c semuanya berbeda dan memenuhi

Tentukan semua kemungkinan nilai p dan buktikan bahwa abc + p = 0


3. ABCD adalah segiempat konveks. Titik P, Q, R dan S secara berurutan terletak pada sisi AB, BC, CD dan DA sehingga memenuhi . Tentukan nilai k jika luas PQRS 52 % luas segiempat ABCD.


4. Diberikan barisan aritmatika dengan suku-sukunya bilangan bulat
308, 973, 1638, 2303, 2968, 3633, 4298.
Tentukan barisan geometri dengan suku-sukunya
b1, b2, b3, b4, b5, b6
merupakan bilangan bulat yang memenuhi
308 < b1 < 973 < b2 < 1638 < b3 < 2303 < b4 < 2968 < b5 < 3633 < b6 < 4298.



UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2006
4 – 9 SEPTEMBER 2006
SEMARANG, JAWA TENGAH

BIDANG : MATEMATIKA

HARI KEDUA

WAKTU : 180 MENIT



5. Bilangan real a, b, c memenuhi
ab  a = b + 119
bc  b = c + 59
ca  c = a + 71
Tentukan semua kemungkinan nilai a + b + c.


6. Tentukan bilangan rasional r terbesar yang memenuhi dan dengan a, b, dan c adalah bilangan asli.


7. Misalkan ABCD adalah segiempat talibusur dan P dan Q berturut-turut adalah titik yang terletak pada sisi AB dan AD sehingga AP = CD dan AQ = BC. Misalkan M adalah titik perpotongan AC dan PQ. Buktikan bahwa M adalah titik tengah PQ.


8. Masing-masing petak papan catur ukuran 8 x 8 diberi nomor dari 1 sampai 64. Penomoran dimulai dari baris paling atas dan dimulai dari kiri ke kanan. Jika satu bilangan di antara 64 bilangan tersebut dihapus maka 21 buah persegi panjang dengan ukuran 3 x 1 tepat dapat menutup 63 petak sisanya. Tentukan semua kemungkinan bilangan yang dihapus tersebut.